Konstrukce Sard: Elegantní řešení pro rozdělení problému Euclidovy


Original: http://jwilson.coe.uga.edu/Texts.Folder/SRR/SaRD.html

Podle

SriRanga S. Dattatreya
(s nápovědou od Ravi E. Dattātreya)

14.prosince 1996
Summit, New Jersey

Požadavek.

Oddíl úsečku na určitý počet stejných částí.

Stavebnictví.

Nechť AB je dána úsečka. Nakreslete úsečku AC jako AC je kolmá k AB v bodě A. Nakreslete čáru L jako na obrázku, takový, že L je kolmá na AB v B. (Poznámka: Napájecí adaptér a linka L nemusí být kolmá na AB , pokud AB a L jsou rovnoběžné.)
Nyní, označit bod D na L tak, že délka segmentu BD je (n-1) x délka segmentu AC. Také se ujistěte, že D a C leží na opačných stranách úsečky AB. Nakreslete segmentu CD.Segmenty AB a CD se protínají v bodě P.
AP je požadovaná oddíl. Délka AP = (1 / n), délka AB.

Geometrické Důkaz:

Viz obrázek 1. Trojúhelníky SZP a DBP jsou podobné, protože:

Úhel = úhel B = 90 podle jejich konstrukce
Úhel APC = angleBPD, vertikálně opačné úhly

Poměr CA: BD se rovná poměru AP: PB, podle podobnosti trojúhelníků.
Poměr CA: BD je roven 1: (n1) (podle konstrukce).
Tak, AP: PB je roven 1: (n1) (z důvodu výše).
Nebo, AP: AB 1: n. (střední škola algebra)

Q.E.D.Algebraická Důkaz:

Viz obrázek 2. Nechť bod A je původ, (0,0). Nechť délka AB se rovná b, aby bod B je (b, 0). Nechť délka AC být, tak, že bod C je (0, a) a bodem D je (b, (n1)), podle konstrukce. Linka splňuje CD osa x na P. X-intercept je AP. Linka splňuje CD osa y na C. Y zachytit je AC.
Přímky CD je [ ( (n1))] / [0 b], za použití základní principy. Toto zjednodušuje (na / b).Y-zachytit této řady je, v C. To znamená, že rovnice této linie je y = (na / b) x + a, ve standardním y = mx + c formátu. Chcete-li získat x-intercept, nastavte y na nulu dostat, x =a / (na / b) = – ab / na =-b / n. To znamená, že vzdálenost je AP b / n. Vzhledem k tomu, vzdálenost AB je b, bod P odpovídající požadované n-tý partion.

Q.E.D.

Proč raději Sard konstrukce pro radostnou stavebnictví?

Sard je mnohem jednodušší postavit geometricky.
Sard dává studentský pohled, proč to funguje.
Sard není opakovaný proces, na rozdíl od zaradoval se.
Sard připomíná jednu z vlastní konstrukce Euclidovy.
Sard zvládne neintegrálních oddíly, např. 1 / (2.5), pokud můžeme zaškrtnout odpovídající délce BD být 1,5 násobek délky AC.
Sard je schopen zpracovat také násobky. Chcete-li například najít bod E na úsečku AB (rozšířený), tak, že AE je nnásobek délky AB, pak vybrat bod D, že je na stejné straně jako C, a aby BD rovna (1 (1 / n)), AC.